Весь текст без картинок:
Предупреждение! Внимание, никто не несет ответственности за возможные отклонения в Вашем здоровье и психологической устойчивости при изучении представленного ниже материала!
Основные понятия:
Электрическая цепь – совокупность устройств, обеспечивающих путь для электрического тока.
Элементы – первичные источники (устройства в которых любая энергия преобразуется в электрическую), приемники (преобразуют электрическую энергию в другие виды энергии), вторичные источники (устройства, выступающие как источниками, так и приемниками для различных частей цепи), вспомогательные элементы (соединяют источники с приемниками).
Элементы подразделяются на двухполюсники и многополюсники.
Многополюсник – электрическая цепь, содержащая несколько точек для соединения с другими цепями
Электрический ток - упорядоченное движение носителей электрической энергии.
Условно-положительное направление – направление тока, выбранное для конкретной цепи с несколькими источниками тока.
Количественно ток определяется количеством тока, проходящего через поперечное сечение проводника.
ЭДС – электродвижущая сила – работа сторонних сил по перемещению элементарного заряда в проводнике от точки с меньшим потенциалом к точке с большим потенциалом.
Мощность электрического тока - физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии. Мгновенной ю называется произведение мгновенного значения напряжения и мгновенного значения силы тока.
, если значение <0, цепь активная и есть источник, если >0, то цепь пассивная
Электрическая схема – условное графическое изображение электрической цепи.
Структурная электрическая схема – схема электрической цепи из функциональных блоков.
Принципиальная электрическая схема – отображение всех элементов цепи и связи между ними.
Эквивалентная схема – цепь из идеализированных элементов. Два участка цепи называются эквивалентными, если при замене одного из этих участков другим токи и напряжения остальной цепи не меняются. Расчёт емкости эквивалентной схемы производится полярно расчету общего сопротивления цепи: , .
Идеальные элементы электрических цепей:
Сопротивление – идеализированный пассивный элемент (ИПЭ), который необратимо преобразует электрическую энергию в тепловую, механическую, световую.
Емкость – ИПЭ, который может запасать и отдавать энергию.
Индуктивность – ИПЭ, который запасает и отдает энергию магнитного поля.
Источник напряжения
Источник тока
Дуальные элементы и цепи:
Дуальные элементы – элементы, для которых основные соотношения имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем таких замен. Емкость и индуктивность, сопротивление и проводимость являются попарно дуальными элементами.
Электрическая схема и ее топологические элементы:
Ветвь – участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.
Узел – место соединения трех и более ветвей.
Топологические свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь.
Граф электрической цепи – условное изображение схемы в котором каждая ветвь заменена отрезком линии. Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные токи ветви графа называются узлами графа. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.
Подграф – часть графа, ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.
Виды подграфов:
Путь – упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Совокупность ветвей, проходимых непрерывно.
Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.
Дерево – (твоя бывшая) – связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура.
Ветви связи (дополнения дерева) – ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.
Если граф содержит узлов и ветвей, то число ветвей любого дерева = – 1, а числа ветвей связи графа = – ( -1) = – + 1
Сечение графа – множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.
С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений.
Главный контур – контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи.
Главное сечение – сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.
Топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами.
Узловая матрица -таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы.
Для графа на рис. 3 имеем число узлов = 4, число ветвей = 6. Тогда запишем матрицу Ан, принимая элемент матрицы ( – номер строки, – номер столбца) равен 1, если ветвь соединена с узлом и ориентирована от него, - 1, если ориентирована к нему и 0, если ветвь не соединена с узлом . Сориентировав ветви графа (для цепи на рис.1) на рис. 3, получим:
Данная матрица Ан записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Сумма элементов столбцов матрицы Ан всегда равна нолю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули.
Обычно при расчетах один (любой) узел заземляют и переходят к узловой матрице А (редуцированной), которая может быть получена из матрицы Ан путем вычеркивания любой ее строки.
Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов = -1, т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа.
(включение) Первый закон Кирхгофа:
Сумма всех токов, входящих в узел равна сумме всех токов, вытекающих из узла. Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.
Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, но чаще всего для втекающего тока берут знак «+», а для вытекающего – «-».
При расчетах по первому закону Кирхгофа уравнения записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m-узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других.
Введем столбцовую матрицу токов ветвей: . Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме примет вид: AI = 0, где 0 – нулевая матрица-столбец. Тогда, для нашей матрицы А будет записано выражение (делаем глазами движение вниз):
Для первого узла получим следующее выражение:
2.Контурная матрица (матрица контуров) – таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы – ветвям схемы.
Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур I и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвь j не входит в контур i.
Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере дерево (глазки вниз), образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.
(включение) Второй закон Кирхгофа:
Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.
Знак величины ЭДС определяется по алгоритму:
а) Выбираем направление обхода контура;
б) Произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
в) Расставляем знаки ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:
- ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записывается со знаком «+», а в противном случае – «-».
- Напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».
При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается c = (n – m + 1) независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью.
Введем столбцевую матрицу напряжений ветвей: . Тогда второй закон Кирхгофа запишется в виде BU = 0. В качестве примера для схемы (глазки вниз) имеем
откуда получим выражение:
Матрица сечений – таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы – ветвям графа.
Матрица С, составленная из главных сечений – матрица сечений. Число строк матрицы равно числу независимых сечений.
Элемент cij матрицы С равен 1, если ветвь входит в i сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), - 1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвь j не входит в I сечение.
В качестве примера составим матрицу С главных сечений для графа ниже.
Закон Ома:
Сопротивление – отношения напряжения на данном элементе цепи к току, проходящему через него.
Уравнения электрического равновесия электрических цепей:
Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров можно записать уравнение электрического баланса цепи.
Понятие о гармонических воздействиях:
Периодическим называется электромагнитный процесс в электрической цепи в котором мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени.
Период – наименьший промежуток времени, по истечении которого наблюдаются повторения мгновенных значений периодических величин.
Гармонические колебания – колебания, выражаемые косинусоидальными и синусоидальными функциями.
, где Um – максимальное значение или амплитуда, w – скорость изменения угла, ψ – начальная фаза.
Среднее, средневыпрямленное, действующее значения:
Среднее значение напряжения равно среднему арифметическому всех мгновенных значений за период:
Средневыпрямленное значение напряжения определяется как среднее арифметическое абсолютных мгновенных значений за период:
Среднеквадратическое значение (действующее) напряжения – напряжение за время измерения или за период:
Для напряжений одной полярности среднее и средневыпрямляемое значения равны.
Комплексные изображения гармонических функций времени:
Предположим, что некоторая величина изменяется по синусоидальному закону ,
Возьмем прямоугольную систему осей MON. Расположим под углом ψ относительно горизонтальной оси ОМ вектор Vm, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm. Представим себе, что вектор Vm с момента t=0 начинает вращаться вокруг начала координат 0 против направления движения часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте w. В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол (wt+ψ). Его проекция на ось N’N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины U.
Мгновенные значения и как проекции вектора на ось N’N можно получить и другим путем, оставляя вектор Vm неподвижным и вращая, начиная с момента t=0, ось N’N по направлению вращения часовой стрелки с угловой скоростью w. В этом случае вращающуюся ось N’N назовем линией времени.
Таким образом, между мгновенными значениями V и вектором Vm можно установить однозначную связь. На этом основании вектор Vm называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени или вектором величины V. Совокупность векторов величин называется векторной диаграммой.
Идеализированные пассивные элементы при гармонических воздействиях:
Запишем уравнения комплексных характеристических сопротивлений для каждого элемента цепи:
Сопротивление:
Емкость:
Индуктивность:
Метод комплексных амплитуд:
Метод комплексных амплитуд основан на представлении синусоиды через экспоненты с мнимым аргументом. Аналитически комплексное число можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной форме , где а1 и а2 – вещественная и мнимая составляющая соответственно, А – модуль комплексного числа, ϕ – аргумент комплексного числа.
Разложим по формуле Эйлера выражение:
Мнимая часть этого выражения является синусоидально изменяющимся напряжением:
Закон Ома в комплексной форме:
Первый закон Кирхгофа для цепи синусоидального тока (в комплексной форме):
Второй закон Кирхгофа для цепи синусоидального тока (в комплексной форме):
ШПОРА ДЛЯ ВСЕГО:
Анализ простейших линейных RLC-цепей при гармоническом воздействии:
Резонансная цепь с последовательным соединением является простейшей цепью для изучения явления резонанса напряжений. Комплексное сопротивление такой цепи зависит от частоты: . Резонанс напряжений наступает при частоте w0, если , откуда . Мгновенные значения энергии выражаются формулами:
Если принять . Откуда и
Максимальные значения этих энергий равны друг другу, так как
Это следует из того, что реактивное сопротивление цепи, содержащей индуктивность и емкость, при любой схеме соединений пропорционально разности максимальных значений энергии, запасаемой в магнитном и электрических полях: , где x – реактивное сопротивление цепи, Wl – энергия индуктивности, Wc – энергия емкости.
Поэтому условию резонанса (х=0) соответствует равенство:
Мгновенные значения wc и wl колеблются с удвоенной частотой около среднего значения , причем происходит непрерывное перераспределение энергии магнитного и электрического полей, суммарное значение которой постоянно:
В рассматриваемом случае в цепи не происходит обмена энергии между источником и реактивными элементами цепи, а вся электрическая энергия от источника расходуется в сопротивлении.
Введем понятие добротности индуктивной катушки: и конденсатора . Умножив и разделив выражение для Ql на , получим: , где P -средняя мощность, расходуемая в сопротивлении при амплитуде тока Im.
Аналогично рассуждая, получим: , где Р – средняя мощность потерь в параллельном сопротивлении R при амплитуде напряжения на емкости Um. Значит, в обоих случаях добротность определяется в зависимости от отношения максимума энергии реактивного элемента к энергии PT, выделяемой в виде тепла за период.
В случае резонансной цепи также используют понятие добротности цепи, подразумевая под этим в общем случае величину: , где w0 – резонансная величина, числитель дроби – сумма максимальных значений энергии, периодически запасаемой при резонансе в индуктивных элементах, Р – активная мощность на зажимах цепи.
В нашем случае получим:
, где
Условимся называть относительной расстройкой частоты по отношению к резонансной частоте контура величину .
Сопротивление контура будет равно:
Откуда полное сопротивление цепи равно:
, а угол . Ток в цепи
При параллельном соединении получим:
Векторные диаграммы токов и напряжений:
Алгоритм:
Строятся оси комплексной плоскости: вертикально мнимые величины, горизонтально – действительные;
Исходя из значений модулей токов и напряжений выбираются масштабы тока Im и напряжения Um.
С учетом принятых масштабов Im и Um определяется длина каждого вектора, если диаграмма строится с использованием показательной формы его записи; при использовании алгебраической формы записи находятся длины проекций векторов на оси действительных и мнимых величин, т.е. длины действительной и мнимой части комплекса.
Если построение ведется схематично, без точных данных, сперва чертится вектор Im, затем от него идут вектора напряжений и сопротивлений. Стоит помнить, что вектор напряжения Um на емкости всегда направлен перпендикулярно вектору Im и «смотрит» вниз, а на индуктивности – вверх.
Электрическая мощность:
Электрическая мощность – физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии.
(Уравнения смотри в разделе «Основные понятия»)
Баланс мощностей:
Мощность Р, потребляемая резистором определяется по любой из трех формул (глаза вниз):
Мощность, отдаваемая источником ЭДС, определяется выражением , если условно положительное направление тока совпадают с направлением ЭДС, в противном случае: .
В отличие от мощности Pk, которая всегда положительна, Рэк может быть положительной и отрицательной величиной. Отрицательной мощность становится, если ток в источнике направлен против ЭДС, тогда источник ЭДС фактически становится приемником. Такой режим возможен лишь в цепи, где имеется по крайней мере два источника, при этом мощность одного из источников будет величиной положительной (для тупых).
Мощность Pjk, отдаваемая источником тока определяется выражением , если условное направление тока противоположно направлению напряжения, и , если направления совпадают.
Из закона сохранения энергии следует, что сумма мощностей, рассеиваемых на резисторах цепи, равна сумме мощностей, отдаваемых источниками ЭДС и тока: . Это соотношение может быть использовано для проверки правильности расчета цепи.
Коэффициент мощности и его значение:
Коэффициент мощности электрической цепи – cosϕ – отноение активной мощности Рк к полной мощности S:
Допустим, имеется линия электропередач и потребитель.
Источник генерирует полную мощность , которая транспортируется вдоль линии электропередач к приемнику. В ЛЭП часть мощности теряется в виде потерь в линии . На вход приемника поступает полная мощность . Вдоль линии имеет место падение напряжения и потеря напряжения .
В общем случае у потребителей преобладает активно-индуктивный характер нагрузки. Для номральной работы предприятия требуется мощность, равная , . На входе предприятий или отдельных потребителей необходимо устанавливать батарею конденсаторов. В этом случае коэффициент мощности на входе приемника увеличивается и можно добиться его равенства единице. Тогда Qпр существенно уменьшится и полная омощность будет соответственно равна . При неизменном напряжении в конце линии Uпр ток в линии уменьшится, что позволяет выбирать проводник линии меньшего сечения. В идеальном случае вдоль линии электропередач будет передаваться только активная мощность, а следовательно, вдоль ЛЭП можно пропустить большую активную мощность.
Согласование источника энергии с нагрузкой:
Рассмотрим электрическую цепь из источника энергии и нагрузки. Внутреннее сопротивление источника имеет комплексный характер. Задача согласования источника энергии с нагрузкой заключается в выборе такого сопротивления нагрузки, при котором в цепи будут выполняться некоторые условия, называемые критериями согласования. Рассмотрим согласование источника с нагрузкой по критерию наибольшей активной мощности, передаваемой в нагрузку, и по критерию наибольшего кпд.
Для источника с нагрузкой по критерию максимума кпд необходимо, что бы его резистивная сотаввляющая сопротивления нагрузки была намного больше резистивной сотавляющей внетреннего сопротивления источника.
Согласование по критерию максимально активной мощности, передаваемой в нагрузку, широко используеютсч в маломощных радиоэлектронных устройствах, когда независимо от потерб необходимо добиться выделения максимальной мощности сигнала в нагрузке.
а) Согласование по максимуму активной мощности
б) Согласование по максимум кпд
Эквивалентные преобразования электрических цепей
А) Последовательное соединение
Б) Параллельное соединение
/расписывается аналогично последовательному/
В)Смешанное соединение
(Y=1/Z – проводимость)
Лестничная цепь и дробь
Г) Специальные соединения. Преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование
«Треугольник» «Звезда»
Можно преобразовать
Последовательная и параллельная схемы замещения пассивных двухполюсников
Действительная часть:
Комплексная часть:
Преобразования возможны
Значит,
(Проводимости суммируются, если соединения параллельны)
Тогда:
Тогда переход от сопротивления к проводимости:
Комплексные схемы замещения источников энергии
/Zi – внутреннее сопротивление источника/
Для замены (1) на (2) необходимо, чтобы:
/напряжения равны/
/токи равны/
Таким образом, переход от (1) к (2):
Переход от (2) к (1):
Для идеальных источников:
А) можно назначить в качестве внутреннего сопротивления какую-либо параллельную ветвь
Б) Если параллельных ветвей нет, то:
Перенос источников напряжения
Перенос источников тока
Цепи с взаимной индуктивностью (взаимная индуктивность, одноименные зажимы, коэффициент индуктивной связи, индуктивность рассеяния, вносимое сопротивление).
Если вблизи проводника или катушки с током расположить другой проводник или катушку, то часть магнитного потока первой катушки Ф21 будет сцепляться со второй (рис. 1). Величина этого потока определяется геометрическими параметрами второй катушки, ее расположением относительно первой, а также магнитными свойствами окружающей среды, т.е. Ф21=M21i1. В этом выражении коэффициент M21 называется коэффициентом взаимной индукции или взаимной индуктивностью и по смыслу аналогичен индуктивности L.
Одноименными зажимами двух связанных индуктивных катушек называется пара зажимов, выбранных таким образом: при одинаковых относительно этих зажимов направлениях токов магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции в каждой из них суммируются.
Коэффициент индуктивной связи:
– индуктивность первого контура
– индуктивность второго контура
– межконтурная (взаимная) индуктивность
Если весь создаваемый одной катушкой магнитный поток пересекает все витки второй катушки, то коэффициент связи считается равным единице (k = 1). Но у каждой катушки (обмотки) трансформатора существуют магнитные потоки, не пересекающие другую катушку (обмотку) и рассеиваемые в окружающем пространстве. Математически это выражается и называется «индуктивностью рассеяния», где
Это паразитный параметр, отражающий неидеальность трансформатора.
/аналогично/
Вносимое сопротивление – такое сопротивление, которые следовало бы внести в первичную цепь ( включить последовательно с RI и X), чтобы учесть влияние нагрузки вторичной цепи трансформатора на ток в его первичной цепи.
Оно вычисляется по формуле:
В случае такой схемы трансформаторов:
Эквивалентные преобразования цепей со связанными индуктивностями.
ЗКТ:
ЗКН:
«–» – при согласном включении
«+» – при встречном включении
Линейный трансформатор
Без сердечника – линейный, с сердечником – линейный
/ток намагничивания/
(при условии, что )
/Заменим /
Совершенный трансформатор – трансформатор с нулевыми потерями в обмотках (на сопротивление)
(так как , а в совершенном трансформаторе )
( , чтобы трансформатор стал идеальным), тогда:
(n – отношение числа витков первичной и вторичной обмоток)
Мощности равны, значит, трансформатор – пассивное устройство (для идеального трансформатора)
Анализ сложных линейных цепей с постоянными параметрами при гармоническом воздействии.
Последовательная RL-цепь.
Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L. Пусть напряжение u, изменяется по гармоническому закону
Где U, w,фи – заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока i в цепи.
Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:
Где I, ФИ(итое) – неизвестные действующее значение и начальная фаза тока i. Представляя сопротивление и емкость комплексными схемами замещения и переходя от тока i и напряжения u к их комплексным изображениям
Получаем комплексную схему замещения цепи (второй рисунок). Далее используем законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи
- комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов. Величины R, L и w(омега) – заданы.
Подставляя уравнения в исходное уравнение находим соотношение, связывающее комплексные изображения искомого тока и исходного напряжения.
Данное выражение представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем - есть комплексное входное сопротивление этого участка цепи. Данному выражению можно поставить в соответствие комплексную схему замещения цепи(на первом рисунке третья цепь слева). Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи состоящей из последовательно включенных сопротивлений R и индуктивности L равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов.
Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора Z равного геометрической сумме векторов ZR и ZL. Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, можулю комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи
А угол наклона к положительной вещественной полуоси – его аргументу Угол фи лежит в пределах от нуля до пи/2.
Когда аргумент комплексного входного сопротивления фи какого-либо двухполюсника равен нулю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость имеют чисто резистивный(вещественный) характер, а когда фи по модулю равен пи/2 – чисто реактивный(мнимый) характер.
В связи с тем что при заданной частоте внешнего воздействия омега
установившиеся значення токов и напряжений цепи полностью опре-
деляются их действующими значениями и начальными фазами, на
практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы
токов и напряжений, Задача анализа цепи считается решенной, если
найдены комплексные действующие значения соответствующих фуни-
ций.
Векторные диаграммы для тока и напряжений RL-цепи приведены
на рис. Так как напряжение на сопротивлении совпадает по
фазе с током, вектор UR совпадает по направлению с вектором I, век-
тор UL, повернут относительно вектора I на угол pi/2 против часовой
стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток). Не-
зависимо от начальной фазы напряжения фиu вектор I относительно вектора по часовой стрелке на угол фи, то есть ток отстает по фазе от напряжения на угол фи, равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Отметим также, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами подобен треугольнику сопротивлений, образованному векторами Z, Zr, ZL.
Из векторной диаграммы видно, что действующие значения напряжения на входе цепи U, напряжения на сопротивлении UR и напряжения на индуктивноти UL, которые определяют длину сторон треугольника напряжений, связаны соотношением то есть действующее значение напряжения на входе цепи не равно алгебраической сумме действующих значений напряжений на элементах цепи
ПРИМЕР
Рассмотрим последовательную RC-цепь к зажимам которой приложено напряжение u, изменяющееся по гармоническому закону. Найдем комплексный тое цепи и ее комплексное входное сопротивление.
Переходя к комплексной схеме замещения цепи и используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи:
- комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая данную систему уравнений относительно комплексного значения искомого тока, получаем
- комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи, которое равно сумме комплексных сопротивлений последовательно включенных идеализированных элементов.
Выразим комплексное сопротивление цепи Z через параметры входящих в цепь элементов:
Как видно из выражения, при конечных значениях омега, R и C угол фи лежит в пределах от –pi/2 до нуля, то есть входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостный характер. Подставляя получаем:
Из выражения видно, что ток i опережает приложенное напряжение u по фазе на угол фи.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ RLC-цепь.
Рассмотри последовательную RLC-цепь, находящуюся под гармоническим воздействием. Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравнений электрического равновесия цепи:
Где - комплексные сопротивления входящих в цепь идеализированных элементов. Решая систему относительно тока I, получаем:
Здесь Z – комплексное входное сопротивление последовательной RLC-цепи, равное сумме комплексных сопротивлений входящих в цепь элементов, которое определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия:
Переходя от алгебраической формы записи Z к показательной, находим модуль и аргумент комплексного входного сопротивления:
Из данного выражения следует что характер входного сопротивления цепи зависит от соотношения между мнимыми составляющими комплексного входного сопротивления емкости XC ( ) и индуктивности XL ( ). При XL больше модуля XC входное сопротивление цепи имеет резистивно-индуктивных характер(фи от нуля до pi/2).
Иначе входное сопротивление цепи имеет резистивно-емкостный характер(фи от –pi/2 до нуля).
При равенстве мнимые составляющие входного сопротивления емкости XC и индуктивности XL взаимно компенсируются и входное сопротивление цепи имеет чисто резистивный характер (фи равно нулю):
Параллельная RLC-цепь
Рассмотри параллельную RLC-цепь к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону. Комплексная схема замещения цепи, в которой идеализированные двухполюсные элементы представлены их комплексными проводимостями. Используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составим систему уравненийэлектрического равновесия цепи:
- комплексные проводимости входящих в цепь идеализированных пассивных элементов.4Решая систему уравнений относительно I получаем:
- комплексная проводимость RLC-цепи, равная сумме комплексных проводимостей входящих в цепь идеализированных элементов. Комплексная проводимость любой линейной цепи, НЕ зависит от амплитуды(действующего значения) и начальной фазы внешнего оздействия, а определяется только параметрами входящих в цепь элементов и частотой внешнего воздействия:
Переходя от алгебраической формы записи к показательной найдем модуль y и аргумент тетта комплексной входной проводимости RLC-цепи:
Характер входной проводимости и характер входного сопротивления параллельной RLC-цепи зависят от соотношения между реактивными составляющими входной проводимости емкости bC = омега*С и индуктивности bL=-1/(омега*L).
Когда bC больше модуля bL – входная проводимость цепи имеет резистивно-емкостный характер(тетта от pi/2 до нуля), по этому аргумент комплексного сопротивления фи лежит в пределах от –pi/2 до нуля.
Когда bC меньше модуля bL – входная проводимость цепи имеет резистивно-индуктивный характер, а при равенстве реактивные составляющие входной проводимости емкости bC и индуктивности bL взаимно компенсируются и входная проводимость цепи имеет чисто резистивный(вещественный) характер
Сложные цепи. Метод контурных токов
Метод контурных токов дает возможность упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом законов Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений, которые приходится решать совместно до величины: (l-k+1-m) и основан на применении второго закона Кирхгофа. Напомним, что: k - количество узлов электрической цепи, l - ветвей и m - идеальных источников тока. Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви может быть представлен как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по этой ветви. Уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по замкнутым контурам электрической цепи.
Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов производят в следующей последовательности:
Вычерчиваем принципиальную схему и все ее элементы.
На схеме выбирают и обозначают контурные токи, таким образом, чтобы по любой ветви проходил хотя бы один выбранный контурный ток (исключая ветви с идеальними источниками тока). Контуры можно выбирать произвольно, лишь бы их число было равно (l-k+1-m), и чтобы каждый новый контур содержал хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.
Произвольно задаемся направлением протекания контурных токов в каждом из независимых контуров (по часовой стрелке или против). Обозначаем эти токи. Для нумерации контурных токов используют сдвоенные арабские цифры (или римские).
Произвольно задаемся направлением реальных токов всех ветвей и обозначаем их. Маркировать реальные токи надо таким образом, чтобы не путать с контурными. Для нумерации реальных токов ветвей можно использовать одиночные арабские цифры.
По второму закону Кирхгофа, относительно контурных токов, составляем уравнения для всех независимых контуров. Уравнения составлят в следующем виде:
[Описание: Метод контурных токов]
Решаем любым методом полученную систему относительно контурных токов и определяем их.
Переходим от контурных токов к реальным, считая, что реальный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по данной ветви. При алгебраическом суммировании без изменения знака берется контурный ток, направление которого совпадает с принятым направлением реального тока ветви. В противном случае контурный ток умножается на минус единицу.
Для более наглядного рассмотрения этапов решения задач данным способом, рассмотрим расчет электрической цепи с такой же схемой как и в предыдущем разделе.
[Описание: Метод контурных токов]
Предварительно на схеме выбираем (l-k+1-m)=6-4+1-0=3 независимых контура. Далее следует выбрать направления для контурных токов и токов ветвей электрической цепи. Теперь можно записать систему из 3-х линейных уравнений по правилам, изложенным выше. В качестве неизвестных в этой системе будут выступать значения контурных токов. Решаем полученную систему любым удобным способом. Зная значения контурных токов несложно определить значения тока в каждой ветви.
Слож